Κοινοποίησε

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά
 

Ο μετασχηματισμός από το ένα σύστημα συντεταγμένων στο άλλο έχει τις επιπτώσεις του, που πρέπει να ληφθούν σοβαρά υπόψην. Οι επιπτώσεις αναφέρονται στην αλλοίωση των μηκών και κατά συνέπεια στην αλλοίωση των υπολογιζόμενων επιφανειών και όγκων.

Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο Ρ στον ευκλείδιο χώρο, το οποίο περιγράφεται από τις καρτεσιανές συντεταγμένες (X Y Z) και τις (U V W) καμπυλόγραμμες συντεταγμένες.

Στο καρτεσιανό σύστημα ΧΥΖ, με μοναδιαία διανύσματα βάσης (eX eY eZ), το διάνυσμα θέσης του σημείου Ρ γράφεται ως:

Έστω ότι οι Χ, Υ και Ζ είναι συναρτήσεις των U, V και W, δηλαδή:

Θεωρούμε, σε απειροστή απόσταση από το Ρ, ένα δεύτερο σημείο Ρ'.

Υπολογίζουμε τα διαφορικά πρώτης τάξης των (X Y Z) ως προς τις (U V W):

Για να παρακολουθήσουμε πιο εποπτικά τις πράξεις, ξαναγράφουμε τα διαφορικά σε μορφή πινάκων:

ή εναλλακτικά

Συμβολίζουμε με J (Ιακωβιανός) τον 3Χ3 πίνακα και JT τον ανάστροφό του:

Παρατηρούμε ότι η 1η στήλη του Ιακωβιανού είναι η πρώτης τάξης μερική παράγωγός του διανύσματος rP ως προς την καμπυλόγραμμη συντεταγμένη U.

Ανάλογες είναι οι παρατηρήσεις και για τις άλλες δύο στήλες του πίνακα Ιακωβιανής.

Δηλαδή:

Παρατηρούμε ότι στην διανυσματική βάση του ΧΥΖ προέκυψαν τρία διανύσματα (εφαπτομενικά), τα kU, kV και kW.

Το διαφορικό πρώτης τάξης του διανύσματος rP , στην διανυσματική βάση του ΧΥΖ, γράφεται ως:

Επίσης, το διαφορικό πρώτης τάξης του διανύσματος rP , ως διανυσματική συνάρτηση των U, V και W, γράφεται ως:

Ορίζουμε τον πίνακα G (μετρικός) ως εξής:

Εκτελώντας αναλυτικούς υπολογισμούς, διαπιστώνουμε ότι ο 3Χ3 μετρικός πίνακας G είναι συμμετρικός και ότι τα στοιχεία του μπορεί να παρασταθούν ως εξής:

Το διαφορικό μήκος ds του drP δίνεται από την σχέση:

Είναι χαρακτηριστική η περίπτωση, όταν τα εφαπτομενικά διανύσματα k στον χώρο UVW είναι ορθογώνια μεταξύ τους.

Τότε:

και

Εδώ φαίνεται η σημασία του μετρικού πίνακα G, μεταβάλλει την κλίμακα μέτρησης των μηκών από το UVW στο ΧΥΖ.

Επίσης, ορίζουμε στην κατεύθυνση των εφαπτομενικών διανυσμάτων k στον χώρο UVW μοναδιαία διανύσματα ώστε:

και πλέον το διαφορικό διάνυσμα drP εκφράζεται στη νέα διανυσματική (ορθογωνική βάση):

.

Διάβασε επίσης:

 

Η Kemioteko Engineering δημιουργήθηκε ως απόσταγμα εμπειριών 14 ετών στην αδειοδότηση, κατασκευή και λειτουργία δημόσιων τεχνικών έργων και 8 ετών στο ελεύθερο επάγγελμα του μελετητή μηχανικού με εξειδίκευση στην αδειοδότηση και λειτουργία επιχειρήσεων. Αποστολή της Kemioteko Engineering - Χατζηλιόντος Ι. Χριστόδουλος είναι η δημιουργία πελατών, οπαδών της, βαθειά ικανοποιημένων, που θέλουν να κάνουν διαχρονικά τα σωστά πράγματα με τους κατάλληλους συνεργάτες.

 

Διπλ. Χημικός Μηχανικός ΕΜΠ - Msc Περιβαλλοντικού Σχεδιασμού
Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ - 5ο Εξάμηνο
Επιθεωρητής Ξενοδοχείων - ΕΕΔΔ - TUV Austria RCN 6035/2016
Επιθεωρητής ISO 9001 - TUV Austria RCN 6065/2016
Επιθεωρητής ISO 45001 - Alison 1412-13849119
Επιθεωρητής GDPR - Alison 1401-13849119
Ενεργειακός Επιθεωρητής - No 16109 | No 553
Μελετητής ΥΠΕΧΩΔΕ - No 26837 - 18-A & 27-A
ΑΜ ΤΕΕ - No 83488 | ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ. 330512/2017
Μητρώο Αξιολογητών ΓΓΕΤ- No 14856/95711/08-06-17
Ελεγκτής Δόμησης - No 4517
τηλ +302399-022359
Βασ Πιτσούλη 1, TK 63080, Νέα Καλλικράτεια
Χαλκιδική, Ελλάδα | http://kemioteko.gr
Μελετητικές Υπηρεσίες Βιομηχανικών & Περιβαλλοντικών Εγκαταστάσεων:
Σχεδιασμός, Αδειοδότηση, Διαχείριση Ποιοτικού Ελέγχου & Κατασκευών,
Οργανολογία & Ρύθμιση, Λειτουργία & Συντήρηση
Follow us 
 facebook  twitter  linkedin  googleplus  pinterest  youtube  twitter