Κοινοποίησε

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά
 

Σε συνέχεια του μετασχηματισμού ομοιότητας των δύο σημείων, στο παρόν άρθρο εξετάζουμε την γενική περίπτωση, που έχουμε από τρία και άνω σημεία με γνωστές συντεταγμένες στα δύο συστήματα συντεταγμένων ΧΥ και xy, και εκτελούμε αναλυτικούς υπολογισμούς σε παράδειγμα για τρία σημεία (Α, Β και Γ). Τι κάνουμε και πως το κάνουμε;

Μετασχηματισμός ομοιότητας τριών σημείων

Έστω ότι οι συντεταγμένες των σημείων Α, Β και Γ είναι Α(-3676.6, -36295.4), Β(-3454.0, -35469.6) και Γ(-3336.7, -35925.2).

Σε αυτό το αρχικό σύστημα συντεταγμένων θα συμβολίζουμε τις συντεταγμένες με κεφαλαία γράμματα Χ και Υ.

Θεωρούμε πάνω στο χαρτί ένα αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων με μικρά γράμματα x και y.

Τα δύο σημεία Μ' και Μ βρίσκονται πάνω στον άξονα x και το σημείο Μ' αποτελεί την αφετηρία του άξονα x.

Έστω ότι το Μ έχει συντεταγμένες Μ(390,0), αυθαίρετα ορισμένες και αυτές.

Χαράζουμε τους δύο άξονες x και y, κάθετους μεταξύ τους και με αφετηρία 0 το σημείο Μ'.

Προσδιορίζουμε έτσι γραφικά τις συντεταγμένες στο σύστημα xy των σημείων Α και Β.

Έστω ότι προσδιορίσαμε Α(-283.2, 377.3), B(557.1, 540.3) και Γ(199.1, 234.5).

Θα εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό ομοιότητας, δηλαδή θα θεωρήσουμε ότι το αρχικό σύστημα συντεταγμένων ΧΥ έχει υποστεί μία ενιαία (προς όλες τις διευθύνσεις) κλιμάκωση, μία περιστροφή και μία μετατόπιση. Συνολικά αυτές οι τρεις δράσεις προκάλεσαν την μετάπτωση από το σύστημα ΧΥ στο σύστημα xy.

Η σχέση μετασχηματισμού που θα εφαρμόσουμε είναι:

X = x * c + y * d + u

Y = y * c - x * d + v

με

c = μ * cosθ, d = μ * sinθ, μ = ( c^2 + d^2 )^0.5, θ = atan( d / c )

όπου μ ο συντελεστής κλίμακας και θ η γωνία περιστροφής.

Στον μετασχηματισμό ομοιότητας οι άγνωστες παράμετροι είναι 4, οι c, d, u και v.

Με δεδομένη την γνώση των συντεταγμένων των τριών σημείων και στα δύο συστήματα, έχουμε διαθέσιμες 6 εξισώσεις, δηλαδή 2 παραπάνω από ότι χρειαζόμαστε.

Τι κάνουμε; Απορρίπτουμε τις 2; Αν ναι, τότε ποιές 2 από τις 6;

Καταρχήν υπάρχει η απαίτηση το γραμμικό μας μοντέλο να ικανοποιεί και τις 6.

Αυτό όμως είναι αδύνατο, εκτός από την μοναδική περίπτωση επακριβούς λύσης με 4 εξισώσεις.

Αν απαιτήσουμε όμως να ικανοποιεί μόνο τις 4 εξισώσεις, τότε θα παράγει αποκλίσεις για τις άλλες 2 εξισώσεις.

Πότε οι αποκλίσεις μπορούν να γίνουν οι μικρότερες;

Μπορούμε να κάνουμε διάφορους συνδυασμούς που προκύπτουν ανά 4 εξισώσεις και να ελέγχουμε τις αποκλίσεις στις άλλες 2 εξισώσεις, πιθανόν όμως να μην βγάζουμε άκρη αφού μπορεί να μεταβάλλονται οι αποκλίσεις χωρίς συγκεκριμένη τάση, στην μια ή στην άλλη περίπτωση και πάει λέγοντας.

Υπάρχουν όμως και άλλες λύσεις, άπειρες μάλιστα, όπου μπορεί να μην ικανοποιείται καμμιά εξίσωση επακριβώς, δηλαδή όλες να παράγουν αποκλίσεις.

Το μυαλό μας πάει σε ένα κριτήριο ελέγχου, το οποίο περιλαμβάνει τις αποκλίσεις, όχι όμως ελέγχοντας ξεχωριστά την κάθε μία απόκλιση.

Ένα τέτοιο κριτήριο ελέγχου είναι το άθροισμα S των τετραγώνων των παραγώμενων αποκλίσεων V.

Συνεπώς, το αρχικά ακριβές γραμμικό μοντέλο Y = A X μετατρέπεται σε Y = A X + V, όπου V είναι οι αποκλίσεις σε μορφή μονόστηλου πίνακα.

Άρα, ισχύει S=VT V, όπου VT ο V σε μορφή μονόσειρου πίνακα (είναι ο ανάστροφος του μονόστηλου πίνακα).

Με V = Y - A X, έχουμε:

S = VT V ⇒

S = (Y - A X)T (Y - A X) ⇒

S = (YT - XT AT) (Y - A X) ⇒

S = YT Y - YT A X - XT AT Y + XT AT A X ⇒

S = YT Y - YT A X - X AT Y + XT AT A X ⇒

S = YT Y -  2 X AT Y + XT AT A X

Το άθροισμα S είναι συνάρτηση βαθμωτή εξαρτώμενη από τις 4 παραμέτρους του μετασχηματισμού ομοιότητας, S=S(X)=S(c,d,u,v).

Το άθροισμα S ελαχιστοποιείται όταν η πρώτη παράγωγος του S ως προς το άνυσμα X ισούται με τον μηδενικό πίνακα, δηλαδή dS/dX = 0.

dS/dX = d(YT Y)/dX -  d(2 X AT Y)/dX + d(XT AT A X)/dX ⇒

dS/dX = 0 - 2 AT Y + AT A X + XT AT A ⇒

dS/dX = - 2 AT Y + 2 AT A X = 0 ⇒

AT A X = AT Y ⇒

X = (AT A)-1 AT Y

Στις παραπάνω πράξεις χρησιμοποιήσαμε ταυτοτικές ιδιότητες της γραμμικής και διαφορικής άλγεβρας, ενώ παράλληλα θεωρήσαμε ότι όλες οι αποκλίσεις έχουν το ίδιο βάρος στους υπολογισμούς.

Οπότε, με

ως το διάνυσμα συντεταγμένων των σημείων Α, Β και Γ στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων ΧΥ, εφαρμόζοντας επάνω του την δράση του πίνακα (AT A)-1 AT 

των συντεταγμένων των σημείων Α, Β και Γ από το αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων xy, προσδιορίζουμε το βέλτιστο διάνυσμα X

του μετασχηματισμού ομοιότητας, το οποίο χρησιμεύει στο να αποδίδει σε κάθε σημείο του αυθαίρετου επίπεδου συντεταγμένων xy τις συντεταγμένες στο αρχικό σύστημα ΧΥ με τον εξής τρόπο:

X = [ x  y 1 0 ] * [ c d u v ]T = x * c + y * d + u

Y = [ y -x 0 1 ] * [ c d u v ]T = y * c - x * d + v

Συνεπώς για τα σημεία Α, Β και Γ οι συντεταγμένες τους στο ΧΥ υπολογίζονται ως:

και για τα σημεία Μ' και Μ υπολογίζονται ως:

Οι συντεταγμένες ΧΥ των σημείων Α, Β και Γ μπορούν να υπολογιστούν και από το διάνυσμα V των αποκλίσεων:

Από τους προηγούμενους υπολογισμούς, προέκυψε c=0.43902 και d=-0.89758.

Άρα, μ=( 0.43902^2 + 0.89758^2 )^0.5 = 0.999194 και θ = τοξεφ( -0.89758/0.43902 ) = τοξεφ( -2.044508 ) = -71g.0400 = 328g.9600.

Τέλος, έχοντας ως σημείο εφαρμογής το σημείο Μ' με:

  1. περιστροφή κατά θ=328.9600γ
  2. κλιμάκωση κατά μ~0.9992
  3. και μεταφορά στο σημείο (-3213.619, -36206.850)

παράγεται το ακόλουθο σχέδιο (οι μικροδιαφορές στα δεκαδικά ψηφία μεταξύ σχεδίου και υπολογισμών οφείλονται στα σφάλματα αποκοπής του AutoCad επειδή χρησιμοποιήθηκε το μ~0.9992).

Υπόμνημα: σημειώνουμε κάποιες παρατηρήσεις - ιδιότητες πάνω στον πίνακα ΑΤ Α:

  1. έχει διαστάσεις 4Χ4
  2. είναι συμμετρικός
  3. τα δύο πρώτα στοιχεία στην διαγώνιό του είναι ίσα με το άθροισμα των τετραγώνων των συντεταγμένων x και y των σημείων που συμμετέχουν στον μετασχηματισμό
  4. τα δύο τελευταία στοιχεία στην διαγώνιό του είναι ίσα με το πλήθος των σημείων (3 στην περίπτωσή μας) που συμμετέχουν στο μετασχηματισμό
  5. το δεύτερο στοιχείο της 1ης γραμμής ισούται με μηδέν, ανεξάρτητα από το πλήθος των σημείων που συμμετέχουν στον μετασχηματισμό
  6. το τρίτο στοιχείο της 1ης γραμμής ισούται με το άθροισμα Σxi των σημείων που συμμετέχουν στον μετασχηματισμό
  7. το τέταρτο στοιχείο της 1ης γραμμής ισούται με το άθροισμα Σyi των σημείων που συμμετέχουν στον μετασχηματισμό
  8. το τρίτο στοιχείο της 2ης γραμμής ισούται με το άθροισμα Σyi των σημείων που συμμετέχουν στον μετασχηματισμό
  9. το τέταρτο στοιχείο της 2ης γραμμής ισούται με το άθροισμα -Σxi των σημείων που συμμετέχουν στον μετασχηματισμό

.

Διάβασε επίσης:

 

Η Kemioteko Engineering δημιουργήθηκε ως απόσταγμα εμπειριών 14 ετών στην αδειοδότηση, κατασκευή και λειτουργία δημόσιων τεχνικών έργων και 6 ετών στο ελεύθερο επάγγελμα του μελετητή μηχανικού με εξειδίκευση στην αδειοδότηση και λειτουργία επιχειρήσεων. Αποστολή της Kemioteko Engineering - Χατζηλιόντος Ι. Χριστόδουλος είναι η δημιουργία πελατών, οπαδών της, βαθειά ικανοποιημένων, που θέλουν να κάνουν διαχρονικά τα σωστά πράγματα με τους κατάλληλους συνεργάτες.

 

Dipl. Chemical Engineer - Msc Environmental Design of Infrastructure Works
Accommodations Internal Auditor - TUV Austria RCN 6035/2016
ISO 9001 Internal Auditor - TUV Austria RCN 6065/2016
ISO 45001 Internal Auditor - Alison 1412-13849119
GDPR Internal Auditor - Alison 1401-13849119
YPEN/ENEP. - No 16109 | YPEN/ENEL - No 553
YPEXODE - No 26837 - MELETES 18-A & 27-A
TEE - No 83488 | SEPE 330512/2017
GGET - No 14856/95711/08-06-17
YPEN / EL. DOM. - No 4517
Contact: tel +302399-022359, fax +302371-200937
Pitsouli 1, TK 63080, Nea Kallikrateia, Chalkidiki, Greece | http://kemioteko.gr
Entrepreneurial & Environmental Facilities Consultant Services:
Design, License, Quality Control & Construction Management,
Instrumentation & Control, Operation & Maintenance
Follow us 
 facebook  twitter  linkedin  googleplus  pinterest  youtube  twitter