Κοινοποίησε

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά
 

Σε ένα παλιό τοπογραφικό διάγραμμα υπάρχουν τέσσερα σημεία ενδιαφέροντος, τα Α και Β, για τα οποία αναγράφονται ευκρινώς οι συντεταγμένες τους Χ και Υ, και τα σημεία Μ' και Μ για τα οποία δεν υπάρχει σχετική πληροφορία. Επιπλέον, δεν υπάρχει κάναβος συντεταγμένων, ούτε και σύμβολο του βορρά για είναι εφικτός ο προσανατολισμός του σχεδίου. Θέλουμε να προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες των σημείων Μ' και Μ. Τι κάνουμε;

Τοπογραφικό - Μετασχηματισμός ομοιότητας 2 σημείων

Έστω ότι οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β είναι Α(-3676.551, -36295.377) και Β(-3453.990, -35469.574). Αν στο σχέδιο αναγράφεται η κλίμακα κατασκευής του μπορούμε να ελέγξουμε αν έχει υποστεί σμίκρυνση ή μεγέθυνση ή αλλοίωση με τον χρόνο υπολογίζοντας το μήκος ΑΒ από τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β και συγκρίνοντάς το με το μήκος που βγάζει ο χάρακας σε συνδυασμό με την δοσμένη κλίμακα.

Σε αυτό το αρχικό σύστημα συντεταγμένων θα συμβολίζουμε τις συντεταγμένες με κεφαλαία γράμματα Χ και Υ.

Θεωρούμε πάνω στο χαρτί ένα αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων με μικρά γράμματα x και y.

Τα δύο σημεία Μ' και Μ βρίσκονται πάνω στον άξονα x και το σημείο Μ' αποτελεί την αφετηρία του άξονα x.

Έστω ότι το Μ έχει συντεταγμένες Μ(390,0), αυθαίρετα ορισμένες και αυτές.

Χαράζουμε τους δύο άξονες x και y, κάθετους μεταξύ τους και με αφετηρία 0 το σημείο Μ'.

Προσδιορίζουμε έτσι γραφικά τις συντεταγμένες στο σύστημα xy των σημείων Α και Β.

Έστω ότι προσδιορίσαμε Α(-283.150, 377.336) και Β(557.145, 540.332).

Θα εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό ομοιότητας, δηλαδή θα θεωρήσουμε ότι το αρχικό σύστημα συντεταγμένων ΧΥ έχει υποστεί μία κλιμάκωση, μία περιστροφή και μία μετατόπιση. Συνολικά αυτές οι τρεις δράσεις προκάλεσαν την μετάπτωση από το σύστημα ΧΥ στο σύστημα xy.

Η σχέση μετασχηματισμού που θα εφαρμόσουμε είναι:

X = x * c + y * d + u

Y = y * c - x * d + v

με

c = μ * cosθ, d = μ * sinθ, μ = ( c^2 + d^2 )^0.5, θ = atan( d / c )

όπου μ ο συντελεστής κλίμακας και θ η γωνία περιστροφής.

Στον μετασχηματισμό ομοιότητας οι άγνωστες παράμετροι είναι 4, οι c, d, u και v.

Άρα χρειαζόμαστε 4 εξισώσεις για να προσδιοριστούν επακριβώς οι c, d, u και v.

Τις έχουμε; Ναι τις έχουμε, 2 εξισώσεις από την συντεταγμένη X και x των σημείων Α και Β και 2 εξισώσεις από την συντεταγμένη Υ και y των σημείων Α και Β.

Ακολούθως, αναγράφονται διατεταγμένες οι 4 αυτές εξισώσεις:

Σύστημα γραμμικών εξισώσεων:  XA = xA *c +yA *d +1 *u +0 *v
XB = xB *c +yB *d +1 *u +0 *v
YA = yA *c -xA *d +0 *u +1 *v
YB = yB *c -xB *d +0 *u +1 *v

Το παραπάνω σύστημα εξισώσεων συμβολίζεται με πίνακες τις γραμμικής άλγεβρας ως εξής: Y = A * X.

Ο πίνακας Α δίνεται διατεταγμένα παρακάτω με όλα τα στοιχεία του προσδιορισμένα:

Πίνακας Α:   xA  yA  1  0  =  -283.150 377.336  1  0
xB yB 1 0 557.145 540.332 1 0
yA -xA 0 1 377.336 283.150 0 1
yB -xB 0 1 540.332 -557.145 0 1

Ακολουθεί ο αντίστροφος πίνακας του Α, ο Α-1:

Πίνακας Α-1            =   -0.00115 0.00115 -0.00022 0.00022
-0.00022 0.00022 0.00115  -0.00115
0.75920 0.24080  -0.49576 0.49576
0.49576  -0.49576 0.75920 0.24080

Δηλαδή πλέον η αρχική σχέση Y = A * X, μετατράπηκε στην Χ = A-1 * Υ.

Με Υ=[ XA XB YA YB ]T = [ -3676.551 -3453.990 -36295.377 -35469.574 ]T, το διάνυσμα συντεταγμένων των σημείων Α και Β στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων ΧΥ, εφαρμόζοντας επάνω του την δράση του πίνακα Α-1 των συντεταγμένων των σημείων Α και Β από το αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων xy, προσδιορίζουμε το διάνυσμα X=[ c d u v ]Τ = [ 0.43897 -0.89760 -3213.55748 -36206.86076 ]Τ του μετασχηματισμού ομοιότητας.

Διάνυσμα παραμέτρων

μετασχηματισμού: 

        =   -0.00115 0.00115 -0.00022 0.00022  *  -3676.551  =  0.43897  =  c
-0.00022 0.00022 0.00115  -0.00115 -3453.990 -0.89760 d
0.75920 0.24080  -0.49576 0.49576 -36295.377 -3213.55748 u
0.49576  -0.49576 0.75920 0.24080 -35469.574 -36206.86076 v

Σε τι μας χρησιμεύει το διάνυσμα X μετασχηματισμού ομοιότητας;

Χρησιμεύει στο ότι κάθε σημείο του αυθαίρετου επίπεδου συντεταγμένων xy αποκτάει γνωστές συντεταγμένες στο αρχικό σύστημα ΧΥ με τον εξής τρόπο:

X = [ x  y 1 0 ] * [ c d u v ]T = x * c + y * d + u

Y = [ y -x 0 1 ] * [ c d u v ]T = y * c - x * d + v

Άρα, για το σημείο Μ':

  1. ΧM' = 0 * 0.43897 + 0 * -0.89760 +  -3213.55748 =  -3213.557
  2. YM' = 0 * 0.43897 - 0 * -0.89760 + -36206.86076 = -36206.861

και για το σημείο Μ:

  1. ΧM = 390 * 0.43897 +   0 * -0.89760 +  -3213.55748 =  -3042.359
  2. YM =   0 * 0.43897 - 390 * -0.89760 + -36206.86076 = -35856.797

Μια επαλήθευση για το σημείο Α:

  1. ΧΑ = -283.150 * 0.43897 + 377.336 * -0.89760 +  -3213.55748 =  -3676.549 ( -3676.551)
  2. YΑ =  377.336 * 0.43897 + 283.150 * -0.89760 + -36206.86076 = -36295.377 (-36295.377)

και για το σημείο Β:

  1. ΧΒ = 557.145 * 0.43897 + 540.332 * -0.89760 +  -3213.55748 =  -3453.990 ( -3453.990)
  2. YΒ = 540.332 * 0.43897 - 557.145 * -0.89760 + -36206.86076 = -35469.578 (-35469.574)

Οι διαφορές στα δεκαδικά ψηφία οφείλονται στα σφάλματα αποκοπής ψηφίων του πίνακα Α-1

 

Γεωμετρική ερμηνεία μετασχηματισμού ομοιότητας

Από τους προηγούμενους υπολογισμούς, προέκυψε c=0.43897 και d=-0.89760.

Άρα, μ=( 0.43897^2 + 0.89760^2 )^0.5 = 0.9992 και θ = τοξεφ( -0.89760/0.43897 ) = τοξεφ( -2.044787 ) = -71g.0435 = 328g.9565.

Η γεωμετρική σημασία των μ και θ φαίνεται παραστατικά πιο κάτω χρησιμοποιώντας τον χώρο σχεδίασης του AutoCad.

Περιστροφή: γωνία θ = 328g.9565, σημαίνει ότι το αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων περιστράφηκε κατά 328g.9565 (βλ. σύστημα με κίτρινες γραμμές και επανυπολογισμένες τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Μ' και Μ).

Τοπογραφικό - Μετασχηματισμός ομοιότητας 2 σημείων

Περιστροφή + Κλιμάκωση: αμέσως μετά την περιστροφή εφαρμόζουμε μία ομοιόμορφη κλιμάκωση με συντελεστή μ = 0.9992, με κέντρο της κλιμάκωσης το Μ' (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, στο σύστημα με τις κίτρινες γραμμές τα σημεία έχουν υποστεί μια ελαφρά μεταβολή στις συντεταγμένες τους).

Τοπογραφικό - Μετασχηματισμός ομοιότητας 2 σημείων

Περιστροφή + Κλιμάκωση + Μετατόπιση: αμέσως μετά την περιστροφή και την κλιμάκωση εφαρμόζουμε μία μετατόπιση όλου του συστήματος xy κατά u = -3213.5575 και v = -36206.8608 και παρατηρούμε ότι τα σημεία Α, Β, Μ' και Μ ήρθαν πολύ κοντά στις υπολογισμένες συντεταγμένες τους (με αμελητέες διαφορές στα δεκαδικά λόγω σφαλμάτων αποκοπής ψηφίων). 

Τοπογραφικό - Μετασχηματισμός ομοιότητας 2 σημείων

Τελικά, όλη η παραπάνω διαδικασία ισοδυναμεί με την εντολή ALIGN του AutoCad με εφαρμογή της σε 2 σημεία.

.

Διάβασε επίσης:

 

Η Kemioteko Engineering δημιουργήθηκε ως απόσταγμα εμπειριών 14 ετών στην αδειοδότηση, κατασκευή και λειτουργία δημόσιων τεχνικών έργων και 8 ετών στο ελεύθερο επάγγελμα του μελετητή μηχανικού με εξειδίκευση στην αδειοδότηση και λειτουργία επιχειρήσεων. Αποστολή της Kemioteko Engineering - Χατζηλιόντος Ι. Χριστόδουλος είναι η δημιουργία πελατών, οπαδών της, βαθειά ικανοποιημένων, που θέλουν να κάνουν διαχρονικά τα σωστά πράγματα με τους κατάλληλους συνεργάτες.

 

Διπλ. Χημικός Μηχανικός ΕΜΠ - Msc Περιβαλλοντικού Σχεδιασμού
Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ - 5ο Εξάμηνο
Επιθεωρητής Ξενοδοχείων - ΕΕΔΔ - TUV Austria RCN 6035/2016
Επιθεωρητής ISO 9001 - TUV Austria RCN 6065/2016
Επιθεωρητής ISO 45001 - Alison 1412-13849119
Επιθεωρητής GDPR - Alison 1401-13849119
Ενεργειακός Επιθεωρητής - No 16109 | No 553
Μελετητής ΥΠΕΧΩΔΕ - No 26837 - 18-A & 27-A
ΑΜ ΤΕΕ - No 83488 | ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ. 330512/2017
Μητρώο Αξιολογητών ΓΓΕΤ- No 14856/95711/08-06-17
Ελεγκτής Δόμησης - No 4517
τηλ +302399-022359
Βασ Πιτσούλη 1, TK 63080, Νέα Καλλικράτεια
Χαλκιδική, Ελλάδα | http://kemioteko.gr
Μελετητικές Υπηρεσίες Βιομηχανικών & Περιβαλλοντικών Εγκαταστάσεων:
Σχεδιασμός, Αδειοδότηση, Διαχείριση Ποιοτικού Ελέγχου & Κατασκευών,
Οργανολογία & Ρύθμιση, Λειτουργία & Συντήρηση
Follow us 
 facebook  twitter  linkedin  googleplus  pinterest  youtube  twitter