Κοινοποίησε

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά
 

Στην προσπάθειά μας να συντάξουμε ένα τοπογραφικό διάγραμμα, πρέπει να βασιστούμε σε 2 σταθερά γνωστά τοπογραφικά σημεία (Α και Β, βλ. σχήμα), τα οποία ενδεχομένως κάποιες φορές είναι απρόσιτα. Το θέμα της μη προσβασιμότητας, σημαίνει ότι δεν μπορούμε να στήσουμε το όργανο μέτρησης γωνιών πάνω σε αυτά. Αυτό το πρόβλημα, ονομάζεται πρόβλημα Hansen και επιλύεται αλγοριθμικά όπως περιγράφεται παρακάτω.

Τοπογραφικό - Πρόβλημα Hansen

1ος τρόπος:

Επιλέγουμε 2 σημεία Μ και Μ', από τα οποία βλέπουμε τα Α και Β. Στήνουμε το τοπογραφικό όργανο μέτρησης γωνιών στο σημείο Μ, μετράμε τις γωνίες γ1 και γ2. Στην συνέχεια, στήνουμε το τοπογραφικό όργανο μέτρησης γωνιών στο σημείο Μ' και μετράμε τις γωνίες δ1 και δ2. Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες των Α και Β και τις γωνίες γ1, γ2, δ1 και δ2 μπορούμε να υπολογίσουμε τα λοιπά στοιχεία α, β, θ, λ και τις συντεταγμένες των σημείων Μ, Μ' και Ε. Έστω ότι οι τιμές των γνωστών παραμέτρων έχουν ως εξής (οι γωνίες σε grads):

xA=3628.14
yA=2975.52
xB=5751.96
yB=3415.69
γ1=33.8625
γ2=69.7271
δ1=71.4537
δ2=83.0276

Τότε οι παρακάτω υπολογισμοί δίνουν τις συντεταγμένες του σημείου M.

γ=γ1+γ2 103.5896
δ=δ1+δ2 154.4813
π=pi 3.1416
cotδ=cot(δ/200*π) -1.1517
cotγ=cot(γ/200*π) -0.0564
cotγ1=cot(γ1/200*π) 1.6993
cotδ2=cot(δ2/200*π) 0.2731
λ=atan((cotδ-cotγ+cotγ1-cotδ2)/(cotγ1*cotδ2-cotγ*cotδ))*200/π 44.0722
β=200-(γ+δ2) 13.3828
ω=200-(β+γ+λ) 38.9554
α=200-δ-γ1 11.6562
θ=200-(α+δ-λ) 77.9347
A=θ 77.9347
B=β+ω 52.3382
cotA=cot(A/200*π) 0.3612
cotB=cot(B/200*π) 0.9291
xΜ=(yB-yA+xA*cotB+xB*cotA)/(cotA+cotB) 4563.7805
yM=(xA-xB+yA*cotB+yB*cotA)/(cotA+cotB) 1452.7388

Τα σημεία Μ' και Ε υπολογίζονται (οι συντεταγμένες τους) καθώς και τα διάφορα μήκη των σχηματιζόμενων πλευρών των τριγώνων από τους νόμους των ημιτόνων, συνημιτόνων, πυθαγόρειου θεωρήματος και 3ου Θεμελιώδους Προβλήματος της Τοπογραφίας.

Τοπογραφικό - Πρόβλημα Hansen

AB=((xB-xA)^2+(yB-yA)^2)^0.5 2168.9539
AM=((xM-xA)^2+(yM-yA)^2)^0.5 1787.2565
AM=AB/sin(γ2/200*π)*sin((ω+β)/200*π) 1787.2565
BM=((xM-xB)^2+(yM-yB)^2)^0.5 2294.5474
BM=AB/sin(γ2/200*π)*sin(θ/200*π) 2294.5474
AM'=AB/sin(δ1/200*π)*sin(ω/200*π) 1382.5998
BM'=AB/sin(δ1/200*π)*sin((α+θ)/200*π) 2374.7984
dxAB=xB-xA 2123.8200
dyAB=yB-yA 440.1700
GAB=atan(dxAB/dyAB)*200/π 86.9900
GBM'=GAB+(400-ω)+200-400 248.0346
dxBM'=BM'*sin(GBM'/200*π) -1626.6023
dyBM'=BM'*cos(GBM'/200*π) -1730.2695
xM'=xB+dxBM' 4125.3577
yM'=yB+dyBM' 1685.4205
AM'=((xM'-xA)^2+(yM'-yA)^2)^0.5 1382.5998
BM'=((xM'-xB)^2+(yM'-yB)^2)^0.5 2374.7984
MM'=((xM-xM_)^2+(yM-yM_)^2)^0.5 496.3419

Για λόγους επαλήθευσης τα μήκη ΑΜ και ΒΜ υπολογίζονται από πυθαγόρειο θεώρημα και νόμο ημιτόνων. Τα ΑΜ' και ΒΜ' υπολογίζονται μόνο από νόμο ημιτόνων διότι δεν είναι ακόμη γνωστές οι συντεταγμένες του Μ'. Ορίζουμε ως φορά εργασίας την Α->Β->Μ'. Υπολογίζουμε την γωνία διεύθυνσης GAB και με εφαρμογή του 3ου ΘΠ υπολογίζουμε την γωνία διεύθυνσης GBM' λαμβάνοντας υπόψην ως γωνία θλάσης στο Β αυτή που δείχνει ο αριστερός μας ώμος (η εξωτερική γωνία 400-ω) και αφαιρώντας τόσα 400 όσα χρειάζονται για να είναι η GBM' < 400 grads. Γνωρίζοντας πλέον την GBM' βρίσκουμε το σημείο M'(xM',yM'). Ο προσδιορισμός του Μ' ήταν εφαρμογή ενός άλλου προβλήματος - μεθοδολογίας της Τοπογραφίας που ονομάζεται εμπροσθοτομία. 

2ος τρόπος (Wikipedia):

Τοπογραφικό - Πρόβλημα Hansen

Η δεύτερη μέθοδος φτάνει μέχρι τον υπολογισμό του μήκους Μ'Μ.

Από εκεί και πέρα με εφαρμογή του 3ου και του 1ου Θ.Π. της τοπογραφίας υπολογίζονται οι συντεταγμένες των σημείων Μ και Μ'.

Αλγόριθμος 2ου τρόπου Αντιστοίχηση με 1ο τρόπο
γ=200-a1-b1-b2 α=γ
δ=200-a2-b1-b2 β=δ
k=( sinγ sina2 sinb1) / ( sinδ sina1 sinb2) k=( sinα sinγ2 sinδ2) / ( sinβ sinγ1 sinδ1)
s=b1+b2 s=δ2+γ1
tan( d/2 )=tan( s/2 ) (k-1) / (k+1) tan( d/2 )=tan( s/2 ) (k-1) / (k+1)
φ=(s+d)/2 θ=φ
ψ=(s-d)/2 ω=ψ
M'M=AB ( sinφ sinδ )/( sina2 sinb1 ) ή M'M=AB ( sinθ sinβ )/( sinγ2 sinδ2 ) ή
M'M=AB ( sinψ sinγ )/( sina1 sinb2 ) M'M=AB ( sinω sinα )/( sinγ1 sinδ1 )

 

Η 2η μέθοδος παρουσιάζεται εδώ διότι η απόδειξή της είναι ευθεία και ξεκάθαρη.

Συγκεκριμένα, από το νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα ΑΜΒ και ΒΜ'Μ προκύπτουν οι σχέσεις AB/BM=sina2/sinφ και BM/M'M=sinb1/sinδ, οι οποίες πολλαπλασιαζόμενες κατά μέλη δίνουν AB/M'M=(sina2 sinb1)/(sinδ sinφ).

Παράλληλα, από το νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα ΑΜ'Β και ΑΜ'Μ προκύπτουν οι σχέσεις AB/ΑM'=sina1/sinψ και ΑM'/M'M=sinb2/sinγ, οι οποίες πολλαπλασιαζόμενες κατά μέλη δίνουν AB/M'M=(sina1 sinb2)/(sinγ sinψ).

Από τις δύο σχέσεις προσδιορισμού του λόγου AB/M'M, εξάγεται η σχέση k=sinφ/sinψ=( sinγ sina2 sinb1) / ( sinδ sina1 sinb2), δηλαδή το k λαμβάνει πραγματική τιμή από μετρούμενες παραμέτρους, συνδέοντας έτσι το φ με το ψ μέσω της σχέσης k=sinφ/sinψ.

Ταυτόχρονα ισχύει φ+ψ=b1+b2, μια δεύτερη εξίσωση που συνδέει το φ με το ψ.

Αυτές οι δύο τελευταίες σχέσεις οδηγούν σε μια "κλειστή" μορφή επίλυσης, δηλαδή απευθείας υπολογισμό με το κομπιουτεράκι, χωρίς να χρειαστεί επαναληπτική διαδικασία με δοκιμή και σφάλμα.

Πρόκειται για την tan( d/2 ), που υπολογίζεται από τις μετρημένες παραμέτρους και οδηγεί τελικά στον υπολογισμό των φ και ψ.

Όπου sin και tan, νοούνται οι συναρτήσεις ημίτονο και εφαπτομένη, αντίστοιχα.

Ακολούθως, δίνουμε την επαλήθευση των αποτελεσμάτων, με αντίστοιχους συμβολισμούς παραμέτρων της 1ης μεθόδου:

k=(sin(α/200*pi)*sin(γ2/200*pi)*sin(δ2/200*pi))/(sin(β/200*pi)*sin(γ1/200*pi)*sin(δ1/200*pi)) 1.6373
s=δ2+γ1 116.8901
d=2*atan((k-1)/(k+1)*tan((s/2)/200*pi))*200/pi 38.9793
θ=(s+d)/2 77.9347
ω=(s-d)/2 38.9554
ΜΜ'=AB*(sin(θ/200*pi)*sin(β/200*pi))/(sin(γ2/200*pi)*sin(δ2/200*pi)) 496.3419
ΜΜ'=AB*(sin(ω/200*pi)*sin(α/200*pi))/(sin(γ1/200*pi)*sin(δ1/200*pi)) 496.3419

.

Διάβασε επίσης:

 

Η Kemioteko Engineering δημιουργήθηκε ως απόσταγμα εμπειριών 14 ετών στην αδειοδότηση, κατασκευή και λειτουργία δημόσιων τεχνικών έργων και 8 ετών στο ελεύθερο επάγγελμα του μελετητή μηχανικού με εξειδίκευση στην αδειοδότηση και λειτουργία επιχειρήσεων. Αποστολή της Kemioteko Engineering - Χατζηλιόντος Ι. Χριστόδουλος είναι η δημιουργία πελατών, οπαδών της, βαθειά ικανοποιημένων, που θέλουν να κάνουν διαχρονικά τα σωστά πράγματα με τους κατάλληλους συνεργάτες.

 

Διπλ. Χημικός Μηχανικός ΕΜΠ - Msc Περιβαλλοντικού Σχεδιασμού
Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ - 5ο Εξάμηνο
Επιθεωρητής Ξενοδοχείων - ΕΕΔΔ - TUV Austria RCN 6035/2016
Επιθεωρητής ISO 9001 - TUV Austria RCN 6065/2016
Επιθεωρητής ISO 45001 - Alison 1412-13849119
Επιθεωρητής GDPR - Alison 1401-13849119
Ενεργειακός Επιθεωρητής - No 16109 | No 553
Μελετητής ΥΠΕΧΩΔΕ - No 26837 - 18-A & 27-A
ΑΜ ΤΕΕ - No 83488 | ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ. 330512/2017
Μητρώο Αξιολογητών ΓΓΕΤ- No 14856/95711/08-06-17
Ελεγκτής Δόμησης - No 4517
τηλ +302399-022359
Βασ Πιτσούλη 1, TK 63080, Νέα Καλλικράτεια
Χαλκιδική, Ελλάδα | http://kemioteko.gr
Μελετητικές Υπηρεσίες Βιομηχανικών & Περιβαλλοντικών Εγκαταστάσεων:
Σχεδιασμός, Αδειοδότηση, Διαχείριση Ποιοτικού Ελέγχου & Κατασκευών,
Οργανολογία & Ρύθμιση, Λειτουργία & Συντήρηση
Follow us 
 facebook  twitter  linkedin  googleplus  pinterest  youtube  twitter